مسألة رياضيات بكالوريا علمي - احتمالات -

نص المسألة :
===

ثلاثة صناديق ا-ب-ج.
(أ‌) فيه 10 مصابيح صالحة و 4 غير صالحة
(ب‌) فيه 6 مصابيح صالحة و 3غير صالحة
(جـ) فيه 8مصابيح صالحة و 1غير صالحة
1- نختار عشوائيّاً واحد من الصناديق ونسحب منه عشوائيّاً مصباح واحد. فما احتمال أن يكون صالحاّ.
2- نفرض أنّه يوجد مصباحان فقط فيه (أ) 10 مصابيح صالحة و 4 غير صالحة
(ب)6 مصابيح صالحة و 3غير صالحة
نسحب مصباحان دون إعادة .1ً) فما احتمال أن يكون المصباحان صالحان.
2ً) إذا كان أ يحوي كرات: 1سوداء و 1حمراء, ب يحوي 3حمراء و 1سوداء. نسحب
من أ كرة عشوائيّاً ونضعها في ب, ثمّ نسحب من ب كرة عشوائيّاً.
*ما احتمال أن تكون الكرتان من لون واحد؟
**ما احتمال الأولى حمراء علماً أنّ الثانية سوداء؟
===========

الجواب

بالنسبة للسؤال الأول

هنا احتمال المصباح صالح متوقف على الصندوق الذي سحبناها وإن احتمال سحب كل من هذه الصناديق هو 1/3

نرمز كـ لمجموعة المصابيح الكلية

ص1 مجموعة المصابيح في الصندوق الأول
ص2 مجموعة المصابيح في الصندوق الثاني
ص3 مجموعة المصابيح في الصندوق الثالث

فيكون كـ = ص1 U ص2 U ص3

ليكن ف المصباح المسحوب صالح عندئذٍ المطلوب هو حت ( ف)

ف = ف تقاطع كـ = ف تقاطع (ص1 Uص2 U ص3 )= ( ف تقاطع ص1) U (ف تقاطع ص2 ) U ( ف تقاطع ص3 )

حت ف = حت [ ( ف تقاطع ص1) U (ف تقاطع ص2 ) U ( ف تقاطع ص3 )] وباعتبار الأحداث متنافية يؤدي

حت ف = حت (ف تقاطع ص1 ) + حت (ف تقاطع ص2 ) + حت (ف تقاطع ص3 )

وهنا يجب الانتباه إلى إن الاحتمال شرطي فالمطلوب احتمال ف بشرط وقوع أحد الصناديق

حت ف = حت ص1 * حت ف { بشرط وقوع ص1 } + حت ص2 * حت ف { بشرط وقوع ص2 } + حت ص3 * حت ف { بشرط وقوع ص3 }

= 1/3 * 10/14 + 1/3 * 6/9 + 1/3 * 8/9 = 1/3 ( 10/14 + 6/9 + 8/9 )

= 1/3 ( 10/14+ 14/9 )= 1/3 *( 90/126 + 196/126) = 1/3 * 286/126 = 286/ 378

وبالطبع نختصر النسبة لابسط شكل فهذا أفضل [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]{

ملاحظة : أرجو التأكد من إنه يوجد عشرة صالحة و4 غير صالحة أم يوجد 10 مصابيح أربعة منها غير صالحة }

وهناك طريقة ثانية لحل المسألة بان نفرض مثلا م1 حدث سحب الصندوق الأول & م2 حدث سحب الثاني & م3 حدث سحب الثالث

فيكون حت ف = حت ( ف تقاطع م1 ) + حت ( ف تقلطع م2 ) + حت ( ف تقاطع م3 )

= حت م1 * حت ف { بشرط وقوع م1 } + حت م2 * حت ف { بشرط وقوع م2 } + حت م3 * حت ف { بشرط وقوع م3 }

ونكمل كما في الحالة السابقة

في الحالة الثانية أعتقد نفرض إنه يوجد صندوقان فقط وليس مصباحان

المهم الحل نفس الحالة الأولى إنما هنا أصبح احتمال سحب كل من الصندوقين هو 1/2
ونفرض مجموعة المصابيح الكلية في الصندوقين هي كـ1 وتبقى ص1 & ص2 لنفس الدلالة السابقة

ولتكن ف1 المصباحان صالحان عندئذٍ
ف1 = ف1 تقاطع كـ1 = ف1 تقاطع ( ص1 U ص2 )= ( ف1 تقاطع ص1 ) U ( ف1 تقاطع ص2 )

كما في الحالة السابقة يصبح معنا

حت ف1 = حت [( ف1 تقاطع ص1 ) U ( ف1 تقاطع ص2 ) ] = حت (ف1 تقاطع ص1 ) + حت (ف1 تقاطع ص2 ) { بسبب تنافي الاحداث }

= حت ص1 * حت ف1 { بشرط وقوع ص1 } + حت ص2 * حت ف1 { بشرط وقوع ص2 }

= 1/2 * [ ق( 10 , 2 ) / ق ( 14 , 2 ) ] + 1/2 * [ ق( 6, 2 ) / ق( 9 , 2 ) ] = 1/2 ( 45/91+ 20/36 )

ونكمل الجواب { ارجو التأكد من الأجوبة } والمقصود بـ ق ( 10 , 2 ) هو توافيق 10 - 2 وهكذا …إلخ

دائماً نتيجة الاحتمال يجب أن تكون محصورة بين الصفر والواحد